Kohomologie mit Schranken und Fortsetzung holomorpher Funktionen durch lineare stetige Operatoren

In dieser Arbeit lösen wir die Korandgleichung δc = d mit Schranken für Koketten mit Werten in einer kohärenten Untermannigfaltigkeit eines endlichen Produktes der Strukturgarbe OpΩ, wobei Ω eine Steinsche Mannigfaltigkeit sei. Insbesondere wird die Existenz endlich vieler globaler Erzeuger nicht vorausgesetzt. Unser Ergebnis ist daher für die Idealgarbe JV OCN von Keimen holomorpher, auf einer abgeschlossenen analytischen Untergarbe V CNverschwindender Funktionen anwendbar. Obgleich wir hauptsächlich an den Abschätzungen für die Lösungen der Gleichung δc = d interessiert sind, führen die eingesetzten Techniken zu einem Beweis des klassischen Theorems B von Cartan für kohärente Untergarben von OpΩ, ohne das Mittag-Leffler Verfahren zu verwenden. Wir zeigen mit diesen Techniken einen Fortsetzungssatz für holomorphe Funktionen auf V mit Kontrolle des Wachstumsverhaltens. 
 Als Folgerung konstruieren wir einen linear zahmen Fortsetzungsoperator H(V ) → H(CN) unter der Voraussetzung, daß H(V ) linear zahm isomorph zu dem Potenzreihenraum unendlichen Typs Λ(k1/ n), n = dimCV, ist, wobei diese Voraussetzung auch notwendig ist. Hierbei verwenden wir für die Supremumnormen die Suprema über den Schnitten von V mit den Polyzylindern mit den Polyradien em, m ∈ IN. In [2] fragt Aytuna, wie weit und welcher Art Informationen über die komplexanalytische Struktur von V in der Fréchetraumstruktur von H(V ) enthalten sind. Wir zeigen, daß H(V ) genau dann linear zahm zu einem Potenzreihenraum unendlichen Typs ist, wenn V algebraisch ist.

In this thesis we solve the coboundary equation δc = d with bounds for cochains with values in a coherent subsheaf of some OpΩ, where Ω is a Stein manifold. In particular the existence of a finite set of global generators is not assumed. Our result applies therefore to the ideal sheaf JV OCN of germs of holomorphic functions vanishing on a closed analytic submanifold VCN. Although we are mainly interested in the estimates for the solutions of δc = d, the techniques used also lead to a proof for the classical Theorem B of Cartan for coherent subsheafs of some OpΩ, avoiding the Mittag-Leffler argument. We derive an extension theorem for holomorphic functions on V to entire functions, with control on growth behaviour.
 As a corollary we construct a linear tame extension operator H(V ) → H(CN) under the hypothesis that H(V ) is linear tamely isomorphic to the infinite type power series space Λ(k1/ n), n = dimCV; this condition is also necessary. Here the supnorms on H(V ) are taken over intersections of V with polycylinders of polyradii em, m ∈ IN. In [2] Aytuna asked how much, and what kind of, information about the complex analytic structure of V is carried by the Fréchet space H(V ). We prove that H(V ) is linear tamely isomorphic to a power series space of infinite type if and only if V is algebraic.

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