Kohomologie mit Schranken und Fortsetzung holomorpher Funktionen durch lineare stetige Operatoren
In dieser Arbeit lösen wir die Korandgleichung δc = d mit Schranken für Koketten mit Werten in einer kohärenten Untermannigfaltigkeit eines endlichen Produktes der Strukturgarbe OpΩ, wobei Ω eine Steinsche Mannigfaltigkeit sei. Insbesondere wird die Existenz endlich vieler globaler Erzeuger nicht vorausgesetzt. Unser Ergebnis ist daher für die Idealgarbe JV⊂ OCN von Keimen holomorpher, auf einer abgeschlossenen analytischen Untergarbe V ⊂CNverschwindender Funktionen anwendbar. Obgleich wir hauptsächlich an den Abschätzungen für die Lösungen der Gleichung δc = d interessiert sind, führen die eingesetzten Techniken zu einem Beweis des klassischen Theorems B von Cartan für kohärente Untergarben von OpΩ, ohne das Mittag-Leffler Verfahren zu verwenden. Wir zeigen mit diesen Techniken einen Fortsetzungssatz für holomorphe Funktionen auf V mit Kontrolle des Wachstumsverhaltens.
Als Folgerung konstruieren wir einen linear zahmen Fortsetzungsoperator H(V ) → H(CN) unter der Voraussetzung, daß H(V ) linear zahm isomorph zu dem Potenzreihenraum unendlichen Typs Λ∞(k1/ n), n = dimCV, ist, wobei diese Voraussetzung auch notwendig ist. Hierbei verwenden wir für die Supremumnormen die Suprema über den Schnitten von V mit den Polyzylindern mit den Polyradien em, m ∈ IN. In [2] fragt Aytuna, wie weit und welcher Art Informationen über die komplexanalytische Struktur von V in der Fréchetraumstruktur von H(V ) enthalten sind. Wir zeigen, daß H(V ) genau dann linear zahm zu einem Potenzreihenraum unendlichen Typs ist, wenn V algebraisch ist.
In this thesis we solve the coboundary equation δc = d with bounds for cochains with values in a coherent subsheaf of some OpΩ, where Ω is a Stein manifold. In particular the existence of a finite set of global generators is not assumed. Our result applies therefore to the ideal sheaf JV⊂ OCN of germs of holomorphic functions vanishing on a closed analytic submanifold V ⊂CN. Although we are mainly interested in the estimates for the solutions of δc = d, the techniques used also lead to a proof for the classical Theorem B of Cartan for coherent subsheafs of some OpΩ, avoiding the Mittag-Leffler argument. We derive an extension theorem for holomorphic functions on V to entire functions, with control on growth behaviour.
As a corollary we construct a linear tame extension operator H(V ) → H(CN) under the hypothesis that H(V ) is linear tamely isomorphic to the infinite type power series space Λ∞(k1/ n), n = dimCV; this condition is also necessary. Here the supnorms on H(V ) are taken over intersections of V with polycylinders of polyradii em, m ∈ IN. In [2] Aytuna asked how much, and what kind of, information about the complex analytic structure of V is carried by the Fréchet space H(V ). We prove that H(V ) is linear tamely isomorphic to a power series space of infinite type if and only if V is algebraic.