Analytical and Numerical Approximative Methods for solving Multifactor Models for pricing of Financial Derivatives

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Die Doktorarbeit beinhaltet verschiedene Methoden, die in der heutigen modernen Finanzmathematik eingesetzt werden. Es werden analytische und numerische Approximationsmethoden analysiert und diskutiert, sowie effektive Algorithmen für Multifaktormodelle zur Bewertung von Finanzderivaten entwickelt.

Der erste Teil der Doktorarbeit behandelt Modellierungsaspekte und ist auf die analytische Approximation von Zinssatzmodellen im Anleihenmarkt fokussiert. Wir behandeln ein Zweifaktorkonvergenzmodell mit nichtkonstanter Volatilität, das durch zwei stochastische Differentialgleichungen (SDG) gegeben ist. Das Modell beschreibt die Entwicklung von Zinsraten in Verbindung mit dem Eurowechselkurs. Ausgehend von der SDG ist es möglich eine partielle Differentialgleichung (PDG) für den Anleihekurs herzuleiten. Eine Angabe der Lösung der PDG ist nur in Einzelfällen in geschlossener Form möglich, z.B. im Vasicek or CIR Modell mit Korrelation null. In anderen Fällen haben wir eine Approximation an die Lösung des CIR Modells durch Ersetzen der konstanten Volatilität duch eine flexible Volatilität erhalten. Um eine höhere Genauigkeit bei der Anpassung an die reale Zinskurve zu erhalten, haben wir einige Änderungen innerhalb des Modells vorgeschlagen. Die erste basiert dabei auf der Schätzung des Momentanzinses durch die Zinsstrukturkurse innerhalb des Vasicek-Modells. Wir betrachten den Momentanzins im europäischen Modell für eine unbeobachtbare Variable und schätzen diese zusammen mit den anderen Modellparametern. Als zweite Verbesserungsmöglichkeit des Modells betrachten wir den europäischen Momentanzins als Summe von zwei unbeobachtbaren Prozessen. Auf diesem Wege erhalten wir ein Dreifaktorkonvergenzmodell. Wir zeigen die Genauigkeit dieser Approximationen, schlagen Kalibirierungsalgorithmen vor und testen die Modelle an simulierten, sowie realen Marktdaten

Der zweite Teil der vorliegenden Arbeit beschäftigt sich mit numerischen Methoden. Zuerst erläutern wir die Fichera-Theorie, die eine systematische Untersuchung von Randbedingungen erlaubt. Sie ist bei partiellen Differentialgleichungen, die am Rand degenerieren, von großem Nutzen. Es wird die Fichera-Funktion für Zinssatzmodelle hergeleitet. Den Kern der Doktorarbeit bilden Alternating Direction Explicit (ADE) Verfahren, aus den 60er des 20. Jahrhunderts die zu den nicht ausgiebig untersuchten Verfahren zählen. Daher existiert heute nur sehr wenig Literatur zu diesem Thema. Wir führen eine numerische Analyse durch und untersuchen die Stabilitäts- und Konsistenzeigenschaften für Konvektions-Diffusions-Reaktions Gleichungen in einer Raumdimension. Wir implementieren ADE Methoden für zweidimensionale Call-Optionen und dreidimensionale Spreadoptionsmodelle. Zusätzlich werden Erweiterungen für das höherdimensionale Black-Scholes-Modell vorgeschlagen. Wir beenden diesen Abschnitt der Doktorarbeit mit einer alternativen numerischen Methode, der sogenannten Trefftz-Methode, die zu der Klasse der Flexible Local Approximation MEthods (FLAME) gehört. Wir erläutern kurz ihre Nutzung im Rahmen der Finanzmathematik.

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Dokumententyp:
Wissenschaftliche Abschlussarbeiten » Dissertation
Fakultäten und Einrichtungen:
Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften » Mathematik und Informatik » Dissertationen
Dewey Dezimal-Klassifikation:
500 Naturwissenschaften und Mathematik » 510 Mathematik » 510 Mathematik
Sprache:
Englisch
Kollektion / Status:
Dissertationen / Dokument veröffentlicht
Dateien geändert am:
22.01.2018
Datum der Promotion:
24.03.2017
Medientyp:
Text